Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 07 Декабря

В прямоугольном треугольнике $ECQ$, где угол $E$ равен 90°, $\mathrm{CQ\; =\; 50}$, а $\mathrm{EQ\; =\; 48}$. Найдите $\mathrm{cosC}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RP}}'',\; если\; диагонали\; ромба\; PQRS\; равны\; 48\; и\; 14''$.

Объем шара равен $94$. Он вписан в цилиндр. Каков объем цилиндра?

Фабрика по производству велосипедов собирает 40 велосипедов в год, и 20 велосипедов имеют проблемы с цепями. Найдите вероятность того, что случайно выбранный велосипед окажется без дефектов.

По результатам двукратного броска игральной кости в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка?

Определите значение x для уравнения: $\sqrt{3\cdot x+13}=7$.

Решите для значения выражения $\frac{-17\cdot \sin (114°)}{\cos (57°)\cdot \sin (57°)}$

На рисунке изображён график y = $\mathrm{h\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{h(x)}$, определённой на интервале (-8; 8). В какой точке отрезка [-7; 7] функция $\mathrm{h(x)}$ принимает наименьшее значение?

Линза микроскопа имеет фокусное расстояние 24 см. Образец можно разместить на расстоянии $d_1$ от линзы в пределах от 10 см до 40 см, а окуляр расположен на расстоянии $d_2$ в пределах от 80 см до 96 см. Изображение будет четким, если выполняется формула $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. При каком минимальном расстоянии от линзы изображение образца будет четким? Ответ дайте в сантиметрах.

Моторная лодка прошла против течения реки 144 км, а затем вернулась обратно, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Определите скорость лодки, если скорость течения равна 4 км/ч.

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)=k\cdot x+b$. Рассчитайте $f\left(4\right)$.

Найдите точку максимума функции $y=6\cdot x^3+4\cdot x^2+10\cdot x-11$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\cos (\frac{\pi }{2}-2\cdot x)-2\cdot \cos \left(x\right)\cdot \sin (-60°)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\cdot \pi ;\frac{-2\cdot \pi }{3}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=11$ см, ${\mathrm{CC}}_1=11\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{6^x-42-7^{x+1}+{42}^x}{x^2+12\cdot x+27}$\ge 0$.

Бизнесмен хочет взять в кредит целое число миллионов рублей на 9 лет с ежегодным увеличением долга на 80%. Заемщик предполагает, что в 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 годах он будет выплачивать только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите наибольший возможный кредит, при котором выплаченная сумма не превышает 11 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Найдите длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{135°}$, $B_1{C}_1=4$, а площадь $A_1{B}_1{C}_1$ в 10 раз меньше площади $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$15\cdot x>x^2+a^2$ $5\cdot a>=x$ $x+a>=26$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;9]$.

Есть три коробки. В одной из них 50 камней, в другой — 79, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 39 камней, во второй — 79, а в третьей — 11?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 129 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?