Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 07 Октября

В окружности с центром в точке $C$ отрезки $\mathrm{OK}$ и $\mathrm{RA}$ являются диаметрами. Угол $\mathrm{OKR}$ равен $\mathrm{31°}$. Найдите угол $\mathrm{OCA}$. Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(6;-8)$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ известно, что $C_1{D}_1=1$, $A_1{D}_1=4$, $B{B}_1=6$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $D$, $B$, $C$ и $B_1$.

Верфь производит 32 лодки за месяц, и 12 лодок имеют неисправности в корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лодка будет без дефектов.

На выставке в музее ожидается поток посетителей. Вероятность того, что за день придет меньше 41 посетителя, равна 0.85. Вероятность того, что придет больше 23 посетителей, равна 0.61. Найдите вероятность того, что количество посетителей будет от 24 до 40.

Определите значение x для уравнения ${(x-6)}^2=4$. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший корень.

Вычислите результат для $\frac{{\left(2\sqrt{9}\right)}^3}{8}$

На рисунке изображён график y = $\mathrm{h\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{h(x)}$, определённой на интервале (-8; 8). В какой точке отрезка [-7; 7] функция $\mathrm{h(x)}$ принимает наименьшее значение?

Спорткар на шоссе начал тормозить при скорости 111.0 м/с и ускорении 6.0 м/с². Через t секунд после начала торможения он проехал 1026 метров. Найдите время торможения, используя формулу $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$.

На нефтяной платформе две скважины качают нефть. Первая скважина опустошает резервуар объёмом 990 литров на 4 часа медленнее, чем вторая, пропуская на 88 литров нефти в час меньше. Какова скорость работы первой скважины?

Дана функция, которая может быть представлена в виде $f\left(x\right)=a^x+b$. Определите значение функции $f\left(2\right)$.

Найдите точку минимума функции $y=12\cdot x^3-8\cdot x^2-20\cdot x+2$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $-\cos (\frac{\pi }{2}+2\cdot x)-2\cdot \cos \left(x\right)\cdot \cos (45°)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-19\cdot \pi }{4};\frac{-7\cdot \pi }{2}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $ABCD$, если $A{A}_1$ = 8, $BC$ = 10.

Решите неравенство $$ \frac{{38}^x-38-{19}^{x+1}+2^x}{x^2+23\cdot x}$\le 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Рассчитайте длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{90°}$, $B_1{C}_1=7$, и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 10 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$13\cdot x>x^2+a^2$ $x+a>=23$ $7\cdot a>=x$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[10;11]$.

Есть три коробки. В одной из них 111 камней, в другой — 98, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 97 камней, во второй — 112, а в третьей — 0?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 209 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?