Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 05 Декабря

В прямоугольном треугольнике $RTF$, где угол $R$ равен 90°, $\mathrm{TF\; =\; 85}$, а $\mathrm{RF\; =\; 68}$. Найдите $\mathrm{cosT}$.

Определите длину вектора $1\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$, если координаты векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ заданы.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $G_1$, $H_1$, $I_1$, $G$ правильной треугольной призмы $G$$H$$I$$G_1$$H_1$$I_1$, площадь основания которой равна $12$, а боковое ребро равно $79$.

В соревнованиях по гимнастике принимают участие 140 спортсменок: 8 представляют Италию, 13 — Турцию, остальные спортсменки — Канаду. Выступление спортсменок начинается по жребию. Какова вероятность того, что спортсменка, выступающая первой будет представителем Канады?

На утреннюю пробежку в парке приходит определенное количество людей. Вероятность того, что придет меньше 37 бегунов, равна 0.67. Вероятность того, что придет больше 11 бегунов, равна 0.49. Найдите вероятность того, что количество бегунов будет от 12 до 36.

Найдите корень уравнения: ${''(''\frac{4}{8}'')''}^{2\cdot \mathrm{x\; -\; 8}}=64$.

Определите значение выражения $\frac{{48}^{6.3}\cdot 6^{-2.3}}{8^{7.3}}$

На графике изображён график функции y = $\mathrm{g(x)}$. На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 0, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Сопротивление радиоприемника, подключенного к сети с напряжением 120 В, должно быть достаточно большим. Если сила тока, вычисленная по формуле $I=\frac{U}{R}$, больше 0.1 А, радиоприемник не будет работать. Определите минимальное сопротивление, при котором радиоприемник будет работать. Ответ дайте в омах.

В городе открыли автозаправку с несколькими колонками. Вторая колонка заправляет машину с баком объёмом 90 литров на 1 минуту быстрее, чем первая, так как она пропускает на 3 литра топлива в минуту больше. За сколько минут вторая колонка заправит машину?

Дана функция, которая может быть представлена в виде $f\left(x\right)=k\cdot x+b$. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=2$.

Найдите максимум функции $-1\cdot \sin \left(x\right)+\frac{6}{\pi }\cdot x+11$ на интервале $[\frac{\pi }{2}-8\cdot \pi ;8\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${256}^{\cos \left(x\right)}-20\cdot {16}^{\cos \left(x\right)}+64=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-9\cdot \pi }{2};-3\cdot \pi ]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BC{C}_1$, если $A{A}_1$ = 18, $BC$ = 7.

Решите неравенство $$ \frac{8^{x+1}+8^x+1^{x+1}+8}{17\cdot x+x^2}$\le 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 7 лет. Каждый год долг возрастает на 30%. В 1, 2, 3, 4, 5 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наибольшую сумму кредита, чтобы общая выплата была меньше 20 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABD}=\mathrm{\angle DBC}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{49}$.

Для каких значений параметра a уравнение $\sqrt{x^4-81\cdot x^2+4\cdot a^2}=x^2+9\cdot x-2\cdot a$ будет иметь ровно $3$ решения?

Есть три коробки. В одной из них 137 камней, в другой — 84, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 164 камней, во второй — 57, а в третьей — 0?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 221 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?